访问符号计算研究所总结
    侯庆虎

首先我对国家留学基金委、南开大学以及P. Paule教授的资助，对陈永川教授的支持表示衷心感谢，他们的资助和帮助给了我这次留学的宝贵机会；同时我对符号计算研究所和组合数学中心的师生们表示感谢，他们在学术和生活方面给予了很大的帮助。

留学期间，通过参加“组合分析”、“符号求和”等课程并与师生进行交流，对开普勒林茨大学（下图为校园一角）在组合方面的课程进行了了解，获取了很多教学素材和经验。

“组合分析”课程面向大学高年级学生和研究生，是学习组合的入门课程。与中心开始的本科生组合与图论课程类似，讲授内容较为灵活，由任课教师自行安排。“符号求和”则是面向组合方向的研究生，具体的讲授内容更加灵活，一般结合研究工作和科研项目的需求而定。例如在07年秋季结合科研项目对超几何级数进行了讲授，而08年春季则针对Sigma软件包对其理论进行系统讲授。“英文写作”也是研究生的一项重要课程，该课程中不仅讲授关于论文的撰写、报告的准备，还特别对学生的数理逻辑进行训练，提高了学生证明的严谨性。

在开普勒林茨大学的教学中，习题是一项非常重要的教学内容，很多课程专门开设习题课，由年轻教师任课。一方面巩固和加强了学生对知识的掌握，另一方面锻炼了青年教师。他们在课程中经常融入一些最新的研究成果，开阔了学生们的视野。例如在讲授D-有限序列的时候，就给出了一些近期才得以证明的非D-有限序列的例子。此外，他们还注意在教学中增强内容的趣味性，注重鼓励学生的各种思路和方法，使得学生们对数学研究产生兴趣。C. Schneider博士对此说到，我希望学生们是为了寻找数学的乐趣，而不是为了学分来上我的课。

开普勒林茨大学的学生不多，学习数学的更少，很多课程的人数都不超过10人，有的课程甚至只有3、5人上课。而在符号计算研究所（右图为符号计算研究所外景），留学生的数量要超过奥地利本国学生的数量，所以他们对于中心的规模都感到惊奇。国外学生的思路较为开阔，善于利用各种工具解决问题。曾经有一道作业要求证明某个序列是Catalan数，有位学生就先计算出前几项，然后利用在线数列字典找到这一序列的表达式及性质，最后据此给出证明。

留学期间，与Paule教授，研究生B. Erocal合作研究了Omega算子的快速算法。我们将辛国策老师的快速分解算法与Paule教授等人提出的递归方法进行了结合，编制了新的软件包，提高了Omega软件包的计算速度。在此基础上，我们还将该软件包移植到Sage平台上，以期解决一些复杂问题，例如5阶幻方个数的生成函数计算。我们还合作研究了一类偏序集分拆的递推关系，给出了自动求解递推关系的算法和软件包。此外，还给出了关于方幂和对数序列非D-有限的行列式证明。

在研究中，交流与合作是非常重要的因素。符号计算研究所的师生经常在一起讨论问题，原本的休息区变成实际上的“讨论区”。我们新的软件包完成后，Paule教授在一次报告中提到了这一改进，很快就有人提出了一些他们希望计算的对象，而对这些对象的计算又为我们指出了进一步完善程序的方向。这样的交流使双方都获益匪浅。Sage平台软件是一个很新的软件系统，在整数运算和计算速度方面具有优势。正是通过与研究生Erocal的合作，才使得我们的软件包得以很快移植到了这一平台上。

留学期间，参加了符号计算研究所的“组合算法”、“计算机代数”讨论班并做了题为“验证法证明”和“偏序集分拆”的报告。3月30日—4月2日，参加了第60届组合数学研讨会（SLC60）。4月3日－4日，应C. Krattenthaler教授的邀请访问了维也纳大学并作了题为“q-级数中的机器证明”的学术报告。通过这些活动，了解了相关方向的前沿课题，如不等式的机器证明、模等式的自动证明等，交流了近期研究成果，建立了更广的学术联系。

符号计算研究所的学生每学期都至少参加一个讨论班，并且在讨论班上做一次报告，通过这样的形式督促学生们开展科研，同时也锻炼了大家做报告的能力。而讨论班就是由这些报告组成，不设定特别的内容，对于拓宽大家的知识面很有帮助。

此次组合数学研讨会（SLC60），由奥地利维也纳大学（Wien），德国爱尔兰根大学（Erlangen）和法国马恩河谷大学（Marne-la-Vallée）共同组织，在奥地利湖畔小镇斯特罗布尔（Strobl）召开（右图为斯特罗布尔全景）。会议期间，印第安纳大学的M. Ciucu博士做了“Random tiling with gaps and electrostatics”的系列报告，P. Paule，R. King，D. Foata等人做了精彩的主题报告。研讨会安排了很多的交流时间，为报告人和与会者之间的讨论提供了方便，而会场旁边的酒吧间成为大家进一步相互了解，增进友谊的场所。

此次留学增长了学识，开阔了视野，建立和加强了与同行的学术联系，收获很大。在今后的教学科研中，将吸收和借鉴所学，更好的为中心的发展，为国内组合数学的发展服务。

相关链接：访问符号计算研究所——侯庆虎教授

于2008年4月24日