Doron Zeilberger教授来访小记
    陈永川

Doron Zeilberger刚结束他在组合中心一周的访问。中心从他的这次访问受益颇丰，我亦有诸多感慨。

Zeilberger教授是一位伟大的组合数学家。他解决了号称“组合数学中的黎曼猜想”：alternating sign matrices猜想；他提出的Zeilberger算法是研究组合恒等式的机器证明的一个革命性方法，与Gosper算法一道被Mathematical Reviews专门列为一个课题（33F10）；他与Herbert Wilf提出的WZ方法获得了美国数学会的Steele研究论文奖。Wilf教授在南开访问期间谈到Zeilberger教授时说到：“He is amazing。”这句话应该可以翻译为：“他是个奇才。”

Zeilberger教授是一位只对数学感兴趣的数学家。给他写电子邮件，一定要在主题里加上“MathIsFun”（数学是乐趣），否则他的系统就可能会把你的邮件当作垃圾邮件过滤掉。数学就是他的生活，他的生活就是数学。他甚至不喜欢开车，喜欢坐火车，因为在火车上他可以研究数学。除了数学以外，我没发现他有任何爱好。

他非常重视使用计算机来证明数学定理，发现数学定理。例如他借助计算机解决了关于2-stack sortable排列的West猜想。他是一位当之无愧的用计算机证明组合数学定理的大师。

他对组合结构的深刻理解也是登峰造极。例如他和David Bressoud用组合的方法，即他引进的Z-统计量，证明了George Andrews的q-Dyson猜想。这些成就都是应该载入史册的不朽之作。

他这次来访问作了三次演讲。按照他的风格，他的每一次报告都不能超过一个小时，讲50分钟，留10分钟提问讨论。他的第一次报告就很深入浅出。令人吃惊的是，他讲到最古老的组合恒等式出自中国的《易经》：一个n个元素的集合一共有2的n次方个子集。可惜我们都不知道这个事实，我只知道《易经》中有阴阳之说。如果《易经》中有集合的概念， 那么一定包含了现在我们熟悉的用一个长为n的二元序列来表示一个n元集合的子集合。

他在演讲中指出做研究不一定要反应很快，相反，应该像Hilbert那样把一个问题想透，想清楚。用他的话说，就是study carefully, look carefully。做得太快了，就可能会遗漏一些关键的地方，对问题的认识就很难深刻。当然，有些数学家的确思维敏捷，比如John von Neumann。 我对Zeilberger教授的观点极为赞同。他所说的做得太快，用我们的话说就是蜻蜓点水、浅尝辄止；就是不求甚解，急功近利。他所说的study carefully，look carefully，用我们的话说就是深刻领会，仔细琢磨；就是深思熟虑，追根究底；就是循序渐进，熟能生巧；就是反复推敲，细心品味；就是日积月累，从量变到质变；就是我们常说的一分耕耘，一分收获；就是精诚所至，金石为开。Zeilberger教授非常重视从量变到质变这个道理，他总是强调“Quality comes from quantity.”这使我想到我们常说的“厚积薄发”。

Zeilberger教授非常重视做数学实验，从数据中发现规律，从数据库中寻找线索。他的计算机屏幕上常常有两个窗口，一个是Maple，另一个是Sloane的数据库。他还亲自编写了好些Maple软件包。这样的治学精神的确值得我们学习。

他提出的另一个思想是，要做“projects”而不仅仅是研究“problems”。做项目，或者说做课题就是对一类问题、对一个研究方向有深刻的认识，而不仅仅解决一个孤立的问题。他的建议非常好，作为导师指导学生的研究时也应该注意让学生掌握一个方向的知识、研究一个课题，这样更有机会出好的成果。如果把所用的精力都投入到一个很难的问题，风险太大。正如Zeilberger教授所说：“当你已经是有终生职位的教授了，已经没有出成果的压力了，那是当然可以去研究一些大问题。但是在学生阶段，最好还是做‘projects’，最好是花一年到两年的时间做好一个‘project’。”

Zeilberger教授对组合中心的评价很高，认为中心已经成为了一个“great combinatorics empire” （伟大的组合数学帝国）。他对中心的前途非常有信心，认为中心是做研究的好地方。这对我们是很大的激励。我相信只要我们踏踏实实，继续努力，一定能做出更好的工作。

我回国后建立组合数学中心，Zeilgerger教授说我是一个理想主义者，这与我在庆祝中心成立十周年的例会上的感受不约而同。实际上，我感到在数学家中有很多很多的理想主义者，Zeilberger更是一个理想主义者。除了数学外，他没有其它的爱好。在一周的访问中，他什么地方也没去，除了作报告，和我们讨论，他全部时间都在办公室里做研究。

除了讨论学术问题以外，我们还就学生培养和合作研究的一些规矩（unwritten rules）进行了探讨。首先Zeilberger教授注意到中心有很多学生，他提出的第一个问题就是：老师之间发生争学生的事怎么办。在美国的很多学校，研究生入学时不分导师，学了两年后再分导师。中心总结出了很好的经验，学生在报名的时候就确定导师，至少在入学前要确定导师，这样就不存在选学生的问题了。大家都知道，我在录取学生的时候原则上是讲先来后到，直到没有名额为止，没有任何特别的挑选措施，实际上我也不知道怎样去挑选学生。Zeilberger教授对此非常赞同。

我问他，他的学生中哪些人不错。他笑着说：“这个问题不能回答，我的每个学生都是我最好的学生”。他讲了一个故事。有两个著名的数学家，为了一个学生的事，已经相互不讲话了。他们本来是朋友，一个在美国，一个在法国。在美国的先生邀请他在法国的朋友的学生从法国到美国访问一个月。结果在美国的先生发现这个学生不错，就把他留下来跟他自己读博士。这次访问中心，Zeilberger在演讲中也指出，对他给出的课题，如果学生有兴趣一定要在我的指导下共同与他合作。如果他利用访问我们的机会私下找学生跟他做研究，那将是不道德的行为。他之后告诉我，他作为一个客人不能拿着玩具和糖果去朋友家试图领养朋友的小孩。关于署名的问题，他非常赞同国际惯例，以字母顺序排列，按这个惯例，他只能排在最后了。他告诉我，一些生物学的文章，在文章里就注明了署名是按字母顺序，并且注明每个作者的贡献相等。

他注意到我们中心很多学生发表论文都用了英文名字。当然这纯粹是为了方便，多加一个英文名字还有一个优点就是便于检索。Christian Reidys教授为了别人叫他方便，欣然取了一个中文名字，叫“雷吉仕”。他说，他完全不知道这是什么意思。Andreas Dress教授在担任上海计算生物学研究所的所长职务以后，同事为他取了一个中文名字，叫“德乐思”。从字面上可以理解为德国人喜欢思考。当我在上海见到他时，他很自豪地告诉我，他的中文名字就是“一个爱思考的德国人”，并且说这个名字非常符合他的情况。我一听他的解释，一下子没有反应过来，因为这样的理解不太符合中国的思维。在Zeilberger的演讲中我们也讨论了这个问题。他多次问我辛国策的名字怎么念。他至今没有记住国策该怎么念，反而是我记住了他的念法，倒也不影响交流。

Zeilberger第一次来中国是1996年来南开参加我们组织的一个国际会议。上次来中国是在2002年参加在北京举行的国际数学家大会。在北京见到他时，他给我提出了强烈的请求：“Bill, I have a wish。”我不知道他有什么伟大的愿望。结果他告诉我他想在北京找到一个印度餐馆。我查到在国贸大厦附近有一家印度餐馆，于是打电话去订座并问清楚具体的位置。接电话的是一位女士，讲的是英语，还略带印度口音。我想还是讲中国话更方便，于是问到：我们能不能讲中文。对方的回答是NO。到了以后我们才发现，这是一个地道的印度餐馆，服务员也是印度人。Zeilberger去了以后非常满意，甚至可以说非常得意。他说，他在北京找到了印度餐馆，他的朋友一定会嫉妒他。

他这次来天津，我事先作了调研，天津也有印度餐馆。他来的第二天我就带他去了印度餐馆。他说太糟了，他已经成了一个撒谎的人了，因为他走之前告诉了他的夫人和女儿他会有九天的时间吃不到印度菜了。第四天，我问他愿不愿意再去一次那个印度餐馆，他说他又要成为一个撒谎的人了，结果我们一共去了三次。他实在没有想到天津也有很好的印度餐馆。

Zeilberger教授对我的学习和研究有巨大的帮助，我原本应该成为他的学生。1987年我申请去美国读书时，我感到Zeilberger是一位了不起的数学家，所以申请了Drexel大学，他对我也非常欢迎。同时他主动推荐我去MIT跟现代组合数学的奠基人、美国科学院院士Gian-Carlo Rota学习，还给我写了两封推荐信，一封给MIT，另一封给加州理工学院。陈省身先生也给MIT写了推荐信。由于TOFEL成绩很差，远远不够录取线。所以我对于被任何一个学校录取都没有抱任何希望。令人意想不到的是，Drexel大学，MIT和加州理工学院都录取了，并且都给了资助。更加出人预料的是MIT和加州理工学院给了我奖学金，不需要做助教。我把情况告诉Zeilberger教授以后，他明确支持我去MIT，这样宽广的的胸怀和高尚的境界，使我感动不已、感叹不已。Zeilberger教授是我终生感激、终生景仰的人。

去了MIT以后，我深感内疚，希望去看他。他在Drexel大学给我安排了一个演讲，并给我付了机票。我提前一天去了New Jersey，晚上住在他家里，第二天一起坐火车到费城。还记得他的两个女儿都很小。他特地交代，不要关卫生间的灯，因为小孩够不着开关。这已是20年前的往事了。当年的两个小女孩一定认不出来了。

于2007年11月25日