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南开大学组合数学中心课程介绍
 

组合计数:

组合数学主要是研究某组离散对象满足一定条件的安排的存在性、构造及计数等问题。组合计数理论是组合数学中一个最基本的研究方向,主要研究满足一定条件的安排方式的数目及其计数问题。本课程主要介绍组合数学中常见的和重要的一些计数原理、计数方法和计数公式,包括一般的排列、组合的计算以及生成函数、容斥原理、反演原理、Polya 计数定理等等,是研究组合数学的初步。

图论算法:

计算机科学的核心问题就是算法。而图论算法就是随着计算机科学的发展而产生的一门数学分支。除了在计算机科学中的应用外,图论算法还在工程、社学科学、生物数学等领域有重要的应用。本课程将介绍图论算法的基础知识以及一些专题。内容将包括:最短路算法,关键路径算法,染色算法,匹配算法,interval图的算法,网络流算法,以及计算几何学中的一些基本算法。

组合恒等式的机器证明:

传统的证明组合恒等式的方法涉及生成函数,反演公式,组合映射等。这些方法主要依赖于各种技巧, 有很大的局限性。近年来,Zeilberger在Gosper 算法的基础上提出了一套证明组合恒等式的系统方法, 后来又提出了WZ-对的方法,不仅能证明许多已有的恒等式,还能发现一些新的恒等式。这一方法已产生了很大的影响。

对称函数:

对称函数理论是代数组合学中的一个重要研究领域,它主要研究对称群和对称多项式的代数性质和组合性质,在数学的其他分支和数学物理中有广阔的应用,是一个受到广泛关注的研究方向。

组合设计:

组合设计是构造性组合学的一个最重要的方向,它研究将一个集合中的元素进行适当分组,使每个k元子集被包含在相同个数的组里。该研究具有重要的应用意义。

不变量理论:

Coxeter群是一类在几何和代数中重要的群类,它具有很多特殊的组合性质。在此基础上的不变量理论则研究其不变多项式环,对Coxeter群进行进一步的刻划,同时也导出不少新的性质。

q-级数

主要内容为超几何级数的q-模拟。利用组合对应、算子理论、基本变换、反演、自动证明等方法研究q-恒等式和q-级数的性质。

生物数学:

近年来,随着对生物科学研究的深入,有越来越多的问题需要利用数学工具进行解决。 该课程针对其中的若干数学方法问题进行展开,如细胞自动机、进化树的方法,序列分析方法等。

数学物理:

该课程主要对与物理密切相关的群表示理论、算子代数等进行专门的阐述,并将重点介绍超几何级数的方法和对称函数的方法在量子角动量理论中的应用。

计算机图形学:

该课程结合实际应用讲述常用的图像处理方法及其数学背景,并将介绍计算机测定骨龄的软件系统。

并行算法:

介绍基本的并行算法,如矩阵乘法、递归计算、排序算法,线性方程组等的并行计算方法及其复杂性分析。

数据分析:

结合实际应用讲述数据分析的一般方法和一些新的分析方法,如模糊曲线和模糊曲面方法等。

有限域和Galois环理论:

本课程重点介绍有限域的构造和有限域中的计算,特别的,将介绍不可约多项式和有限域正规基的构造,同时还涉及到Galois环理论的一些本质内容。

 
     
 
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