二面体群的小度数Cayley图

王长群，姚俊红
郑州大学


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设$G$是一个有限群， $S$为$G$的不包含单位元$1$的子集， 我们如下定义群$G$关于其子集$S$的Cayley有向图 : 顶点集为$V(X)=G,$ 边集为$E(X)=\{\{g,sg\}g\in G,s\in S\}.$
群$G$的一个Cayley图称为正规的， 如果右乘变换群$R(G)$ 在$AutX$中正规。 一个有限群$G$有正规的Cayley图， 如果$G$有子集$S$使得群$G$关于子集$S$的\\ Cayley图 是正规的。 本文研究了$4m$阶半二面体群$G=(a,b|a^{2m}=b^2=1,a^b=a^{m-1})$ 的$3$度和$4$度Cayley图的正规性，这里$m=2^r,$ 且$r>2,$ 并得到了以下结果:
定理1. 设$X=Cay(G,S)$ 是群$G$关于子集$S$的$3$度Cayley图， $G=(a,b|a^{2m}=b^2=1,a^b=a^{m-1})$ 且$m=2^r,r>2$ ，则$X$同构于下列图之一:
(1) $Cay(G,S_1)$ ，其中 $S_1=(a,a^{-1},b)$。此时$X$是$G$的正规Cayley图，且$A_1\cong Z_2.$
(2)$Cay(G,S_2),$ 其中$S_2=(ab,a^{m+1}b,b)$ 。此时$X$是$G$的非正规Cayley图。
定理2. 设 $X=Cay(G,S)$是群$G$关于子集$S$的4度Cayley图， $G=(a,b|a^{2m}=b^2=1,a^b=a^{m-1})$ 且$m=2^r,r>2,$ ，则$X$同构于下列图之一:
(1)$Cay(G,S_3)$，其中$S_3=(a,a^{-1},b,a^m).$ 此时$X$是$G$的正规Cayley图， 且$A_1\cong Z_2.$
(2)$Cay(G,S_4)$， 其中$S_4=(a,a^{-1},a^ib,a^{m+i}b),$ $i$为奇数且$i\in Z_{2m}$ ， 此时$X$是$G$的正规Cayley图，且$A_1\cong {Z_2}^2.$
(3)$Cay(G,S_5)$ ， 其中$S_5=(ab,a^{m+1}b,b,a^m).$ 此时$X$是$G$的非正规Cayley图。
(4)$Cay(G,S_6),$ 其中$S_6=(ab,a^{m+1}b,b,a^k,b)$ ， $i$为偶数且$k\in Z_{2m} $ ， 此时$X$是$G$的非正规Cayley图。
(5)$Cay(G,S_7),$其中$S_7=(a,a^{-1},b,a^kb)$ ， $k$为偶数且$k\in Z_{2m} $ 。
当$k\neq \pm 2(\mod m)$时， $X$是$G$的正规Cayley图， 且$A_1\cong Z_2$ 当$k\equiv 2(\mod m)$ 时， $X$是$G$的非正规Cayley图。